前面建立的UMpHMP模型是NP-hard問(wèn)題，目前沒(méi)有有效的算法。為了減少計算時(shí)間，Ernst和Krishnamoorthy(1998a，1998b)為樞紐網(wǎng)絡(luò )建立了三下標的 數學(xué)模型，大大減少了變量和約束的個(gè)數，提高了求解的效率。 這個(gè)模型不采用流量的比例作為流變量，而直接用流量為流變量，并對匯運、 轉運和分運分別設置不同的變量。

     令Z4為OD流的匯運流變量，即從始發(fā)地機 場(chǎng)i到樞紐機場(chǎng)k的流量，Ya是從輪輻機場(chǎng)i運出的轉運流量，X是O-D對(i，j) 從樞紐機場(chǎng)l分運到目的地j的流量，再令O是從始發(fā)地機場(chǎng)i運出的總流量， N={1,2,…，n}是機場(chǎng)集合，則三下標樞紐網(wǎng)絡(luò )優(yōu)化模型如下； minC[2xCaZx+22aCuYu+22oC,x, O.表示起始于機場(chǎng)i的流量，因此二W，=0；式（3-15)表示共有p個(gè)樞 紐；式（3-16）~式（3-18）是流量平衡方程，保證所有的O-D流全部由起始機場(chǎng)到目的地機場(chǎng)，其中式（3-16）表示從始發(fā)機場(chǎng)i出發(fā)，經(jīng)過(guò)分配連接到各樞紐機場(chǎng) 的匯運流量之和必須等于O，式（3-17）表示O-D對（i，j）經(jīng)過(guò)各樞組機場(chǎng)l中轉 后分運到目的地機場(chǎng)j的流量之和必須等于W，，式（3-18）表示從始發(fā)地機場(chǎng)i運 出的流量，在樞紐機場(chǎng)k中轉的運進(jìn)流量必須等于運出流量；式（3-19）表示從始發(fā) 機場(chǎng)i出發(fā)，經(jīng)航節i→k匯運時(shí)，k一定是樞紐城市，式（3-20）表示如果O-D對(i、 j)經(jīng)過(guò)機場(chǎng)l中轉分運到目的地機場(chǎng)j，l一定是樞紐；式（3-21）表示流變量是非 負變量，式（3-22）要求y；是0-1型變量。 這個(gè)模型盡管采用了三下標變量，但任一O-D對仍然至多經(jīng)過(guò)匯運、轉運和 分運等三個(gè)航節完成運輸任務(wù)，因此最多兩次中轉。

     變量數從四下標的O（n1)個(gè) 減少為O（n3)個(gè)。如果n=100，那么流變量數從1億個(gè)減少到100萬(wàn)個(gè)。約束條 件數從四下標模型的（2n3+n2+1）減少到三下標模型的(n3+3n2+n+1)，當n= 100時(shí)，四下標模型大約有201萬(wàn)個(gè)，三下標模型大約有103萬(wàn)個(gè)。可見(jiàn)，三下標 模型的規模確實(shí)下降不少。 例3-4在例3-3同樣的條件下，采用三下標模型對樞紐航線(xiàn)網(wǎng)絡(luò )進(jìn)行優(yōu)化 設計。構建三下標模型如下： 同樣應用ILOG/CPLEX求解上述模型，得到的結果為：y2=y；=1，即以北京 和廣州作為樞紐；最優(yōu)的總成本是950364元，這與四下標模型得到的結果相同；流 變量的解如下：Z2=106，Z2=354,Z2=97，Za=46，Z46=22，Z4s=231，Z2=63， 模型中一共有331個(gè)約束條件和474個(gè)變量。與四下標模型比較可以發(fā)現， 無(wú)論是約束條件數、變量數還是運算時(shí)間，三下標模型都小于四下標模型。當問(wèn)題 的規模進(jìn)一步擴大后，這一點(diǎn)將會(huì )更加明顯。